Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x，當x∈[3，6]時，不等式f（x²+6）≥f[（m-3）x+m]恒成立，則實數(shù)m的最大值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)的單調(diào)性把當x∈[3，6]時，不等式f（x²+6）≥f[（m-3）x+m]恒成立轉(zhuǎn)化為m≤

x2+3x+6

x+1

=(x+1)+

4

x+1

+1（3≤x≤6）恒成立，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性得答案．

解答： 解：∵f（x）=x³+x，
∴f′（x）=3x²+1＞0，
∴函數(shù)f（x）=x³+x為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
又x²+6≥6，
∴不等式f（x²+6）≥f[（m-3）x+m]恒成立?x²+6≥（m-3）x+m，
即m≤

x2+3x+6

x+1

=(x+1)+

4

x+1

+1（3≤x≤6）恒成立，
令x+1=t（t∈[4，7]），
∴x+1+

4

x+1

+1=t+

4

t

+1在t=1時取得最小值6，
∴實數(shù)m的最大值為6．
故答案為：6．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了分離變量法，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，是中檔題．