拋物線的頂點在原點，焦點在射線x-y+1=0（x≥0）上
（1）求拋物線的標準方程
（2）過（1）中拋物線的焦點F作動弦AB，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，求點M的軌跡方程，并求出
FC
•
FD
FM
2
的值．
分析：（1）先射線x-y+1=0（x≥0）與坐標軸的交點解得焦點坐標，根據拋物線的焦點坐標，求出拋物線的標準方程．
（2）設AB的直線方程y=kx+1，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量數(shù)量積的坐標運算公式即可求出
FC
•
FD
FM
2
的值，從而解決問題．
解答：解：（1）∵是標準方程，∴其焦點應該在坐標軸上，
∴令x=0，代入射線x-y+1=0，解得其焦點坐標為（0，1）
當焦點為（0，1）時，可知P=2，∴其方程為x2=4y．
（2）設A(x1，
x
2
1
4
)，B(x2，
x2
4
2)
過拋物線A，B兩點的切線方程分別是y=
x1
2
x-
1
4
x12，y=
x2
2
x-
x2
4
2
其交點坐標M(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)
設AB的直線方程y=kx+1代入x2=4y，得x2-4kx-4=0
∴x1x2=-4，M(
x1+x2
2
，-1)，所以點M的軌跡為y=-1
∵
FC
=(x1，
x
2
1
4
-1)，
FD
=(x2，
x
2
2
4
-1)
∴
FC
•
FD
=x1x2+(
x
2
1
4
-1)(
x
2
2
4
-1)=-
1
4
(
x
2
1
+
x
2
2
)-2
而
FM2
=(
x1+x2
2
-0)2+(-1-1)2=
1
4
(
x
2
1
+
x
2
2
)+2
∴
FC
•
FD
FM
2
=-1．
點評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算、拋物線的標準方程．拋物線的標準方程的焦點一定在坐標軸上且定點一定在原點，即先確定焦點的坐標再求出標準方程．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

13、拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線x-y+4=0上，則此拋物線方程為
y2=-16x或x2=16y
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-2，則拋物線的方程是（　�。�
A、y2=-8xB、y2=8xC、y2=-4xD、y2=4x

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）本題主要考查拋物線的標準方程、簡單的幾何性質等基礎知識，考查運算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標系xOy，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線x-y+2=0上，則此拋物線方程為
y2=-8x或x2=8y
y2=-8x或x2=8y
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網實軸長為4
3
的橢圓的中心在原點，其焦點F1，，F(xiàn)2在x軸上．拋物線的頂點在原點O，對稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內相交于點A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標準方程；
（Ⅱ）過點A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若
AC
=2
AB
，求直線l的斜率k．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案