Question

在△ABC中，角A為銳角，且f(A)=

[cos(π-2A)-1]sin(π+ A 2 )sin( π 2 - A 2 )

sin2( π 2 - A 2 )-sin2(π- A 2 )

+cos²A．
（1）求f（A）的最大值；
（2）若A+B=

7π

12

，f(A)=1，BC=2，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角和AC邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（A），根據(jù)A為銳角，確定f（A）的最大值．
（2）利用f（A）=1求出A、B、C三個(gè)角，再用正弦定理求出AC邊的長(zhǎng)．

解答：解：（I）  由已知得f（A）=

1

2

sin2A+cos2A=

1

2

(sin2A+cos2A+1)=

2

2

sin(2A+1)=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

π

4

＜2A+

π

4

＜

5π

4

∴當(dāng)2A+

π

4

=

π

2

時(shí)，f(A)取值最大值，其最大值為

2 +1

2

（II）由   f（A）=1得sin（2A+

π

4

）=

2

2

2A+

π

4

=

3π

4

，A=

π

4

，∴B=

π

3

∴C=

5π

12

在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

∴AC=

BCsinB

sinA

=

2sin π 3

sin π 4

=

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值，二倍角的余弦公式等知識(shí)，是中檔題．