Question

已知當(dāng)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b時(shí)，橢圓的面積是πab．請(qǐng)針對(duì)橢圓

x2

25

+

y2

16

=1，求解下列問(wèn)題：
（1）若m，n是實(shí)數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4．求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率以及點(diǎn)P落在橢圓上的概率．
（2）若m，n是整數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4．求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓外的概率以及點(diǎn)P落在橢圓上的概率．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m，n是實(shí)數(shù)，屬于幾何概型，求出|m|≤5，|n|≤4時(shí)，所有形如（m，n）的點(diǎn)覆蓋的圖形的面積，橢圓圍成的區(qū)域的面積，就可求得點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率；
（2）當(dāng)m，n是整數(shù)，屬于古典概型，求出|m|≤5，|n|≤4時(shí)，點(diǎn)P（m，n）的個(gè)數(shù)，落在橢圓上點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求得點(diǎn)P（m，n）落在橢圓上的概率；當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，共有4×9=36個(gè)點(diǎn)在橢圓外，故可求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓外的概率．

解答：解：（1）當(dāng)m，n是實(shí)數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4時(shí)，所有形如（m，n）的點(diǎn)覆蓋的圖形的面積是80．                                                      
橢圓圍成的區(qū)域在其內(nèi)部，且面積為20π．                         
故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率為

20π

80

=

π

4

                         
由于橢圓是條曲線，線上點(diǎn)所占面積為0，故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓上的概率為0．  
（2）當(dāng)m，n是整數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4時(shí)．點(diǎn)P（m，n）共有11×9=99個(gè)
其中點(diǎn)（0，4），（0，-4），（5，0），（-5，0）四點(diǎn)落在橢圓上．
故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓上的概率為

4

99

．                                     
當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，點(diǎn)（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（4，3）（4，4），（3，4），（2，4）（1，4）共9點(diǎn)在橢圓外．
由對(duì)稱性知，當(dāng)m，n是整數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4時(shí)，共有4×9=36個(gè)點(diǎn)在橢圓外．    
故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓外的概率是

36

99

=

12

33

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型與古典概型，區(qū)分的關(guān)鍵是基本事件的有限性與無(wú)限性，屬于中檔題．