Question

在如圖所示的幾何體中，平面ACE⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90°，EF∥BC，AC=BC=

2

，AE=EC=1．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求三棱錐D-ACF的體積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證出BC⊥平面ACE，可得AE⊥BC．利用勾股定理的逆定理得出AE⊥EC，結(jié)合線面垂直判定定理，得到AE⊥平面BCEF；
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論和面面垂直性質(zhì)定理，證出EG⊥平面ABCD，結(jié)合FE∥平面ABCD得到EG就是F-ACD的高，最后利用三棱錐的體積公式算出三棱錐F-ACD的體積，即得三棱錐D-ACF的體積．

解答：解：（I）∵平面ACE⊥平面ABCD，平面ACE∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，BC⊥AC
∴BC⊥平面ACE，結(jié)合AE?平面ACE，得AE⊥BC
∵△AEC中，AE²+EC²=2=AC²
∴∠AEC=90°，即AE⊥EC
∵BC∩EC=C，∴AE⊥平面BCEF；
（II）設(shè)AC中點為G，連接EG，
∵AE=CE，G為AC中點，∴EG⊥AC
由（I）可得BC⊥平面ACE，得BC⊥EG
∵BC、AC是平面ABCD內(nèi)的相交直線
∴EG⊥平面ABCD，
∵EF∥BC，EF?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，可得F到平面ABCD的距離等于E到平面ABCD的距離
由此可得EG是三棱錐F-ACD的高
∵△ACD的面積S_△ACD=

1

2

×

2

×

2

=1，等腰Rt△ACE中，EG=

1

2

AC=

2

2

∴三棱錐F-ACD的體積V_F-ACD=

1

3

S_△ACD×EG=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

由此可得：三棱錐D-ACF的體積V=V_F-ACD=

2

6

．

點評：本題給出特殊幾何體，求證線面垂直并求錐體體積．著重考查了空間線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)定理和錐體公式等知識，屬于中檔題．