Question

如圖，已知曲線C：，C_n：（n∈N^*）．從C上的點Q_n（x_n，y_n）作x軸的垂線，交C_n于點P_n，再過點P_n作y軸的垂線，交C于點Q_n+1（x_n+1，y_n+1）設，x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n -y_n+1．
（1）求點Q₁、Q₂的坐標；
（2）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（3）記數(shù)列{a_n•y_n+1} 的前n項和為S_n，求證s_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），知點P_n的坐標為（x_n，y_n+1），由此能求出點Q₁、Q₂的坐標．
（2）由Q_n，Q_n+1在曲線C上，知，，由P_n在曲線C_n上，知，由此能求出數(shù)列{a_n} 的通項公式．
（3）由x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1==2-2^1-n，知a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）===，由此入手能夠證明s_n＜．
解答：解：（1）∵Q_n（x_n，y_n），Q_n+1（x_n+1，y_n+1），
∴點P_n的坐標為（x_n，y_n+1）
∴．-----------------------------------（2分）
（2）∵Q_n，Q_n+1在曲線C上，
∴，，
又∵P_n在曲線C_n上，
∴，--------------------------------（4分）
∴x_n+1=x_n+2^-n，
∴a_n=2^-n．-----------------------------------------（6分）
（3）x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁
=2^-（n-1）+2^-（n-2）+…+2^-1+1
=
=2-2^1-n．-------------------（9分）
∴a_n•b_n=（x_n+1-x_n）•（y_n-y_n+1）
=
=
=，
∵2•2ⁿ-2≥2ⁿ，2•2ⁿ-1≥3，
∴．--------------------------------（12分）
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
-----------------------（14分）
點評：本題考查點坐標的求法、求數(shù)列的通項公式、求證s_n＜．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．