如圖,已知曲線C:,Cn(n∈N*).從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再過點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1)設,x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn -yn+1
(1)求點Q1、Q2的坐標;
(2)求數(shù)列{an} 的通項公式;
(3)記數(shù)列{an•yn+1} 的前n項和為Sn,求證sn

【答案】分析:(1)由Qn(xn,yn),Qn+1(xn+1,yn+1),知點Pn的坐標為(xn,yn+1),由此能求出點Q1、Q2的坐標.
(2)由Qn,Qn+1在曲線C上,知,,由Pn在曲線Cn上,知,由此能求出數(shù)列{an} 的通項公式.
(3)由xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1=2-(n-1)+2-(n-2)+…+2-1+1==2-21-n,知an•bn=(xn+1-xn)•(yn-yn+1)===,由此入手能夠證明sn
解答:解:(1)∵Qn(xn,yn),Qn+1(xn+1,yn+1),
∴點Pn的坐標為(xn,yn+1
.-----------------------------------(2分)
(2)∵Qn,Qn+1在曲線C上,
,,
又∵Pn在曲線Cn上,
,--------------------------------(4分)
∴xn+1=xn+2-n,
∴an=2-n.-----------------------------------------(6分)
(3)xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1
=2-(n-1)+2-(n-2)+…+2-1+1
=
=2-21-n.-------------------(9分)
∴an•bn=(xn+1-xn)•(yn-yn+1
=
=
=,
∵2•2n-2≥2n,2•2n-1≥3,
.--------------------------------(12分)
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
-----------------------(14分)
點評:本題考查點坐標的求法、求數(shù)列的通項公式、求證sn.解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知曲線C:y=
1
x
Cn:y=
1
x+2-n
(n∈N*)
.從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再從Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1).設x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn-yn+1
(I)求a1,a2,a3的值;
(II)求數(shù)列{an}的通項公式;
(III)設△PiQiQi+1(i∈N*)和面積為Si,記f(n)=
n
i=1
Si
,求證f(n)<
1
6
.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知曲線C:y=
1
x
在點P(1,1)處的切線與x軸交于點Q1,過點Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1,曲線C在點P1處的切線與x軸交于點Q2,過點Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2,…,依次得到一系列點P1、P2、…、Pn,設點Pn的坐標為(xn,yn)(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(Ⅱ)求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
(Ⅲ)設直線OPn的斜率為kn,求數(shù)列{nkn}的前n項和Sn,并證明Sn
4
9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2006•南京二模)如圖,已知曲線C:y=
1
x
Cn:y=
1
x+2-n
(n∈N*)
.從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再從點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1),設x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn-yn+1
(Ⅰ)求Q1,Q2的坐標;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)記數(shù)列{an•bn}的前n項和為Sn,求證:Sn
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知曲線C:y=
1
x
,Cny=
1
x+2-n
(n∈N*).從C上的點Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點Pn,再過點Pn作y軸的垂線,交C于點Qn+1(xn+1,yn+1)設,x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn -yn+1
(1)求點Q1、Q2的坐標;
(2)求數(shù)列{an} 的通項公式;
(3)記數(shù)列{an•yn+1} 的前n項和為Sn,求證sn
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知曲線C:y=x2(0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1).取線段OQ的中點A1,過A1作x軸的垂線交曲線C于P1,過P1作y軸的垂線交RQ于B1,記a1為矩形A1P1B1Q的面積.分別取線段OA1,P1B1的中點A2,A3,過A2,A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2,P3,過P2,P3分別作y 軸的垂線交A1P1,RB1于B2,B3,記a2為兩個矩形A2P2B2A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推,記an為2n-1個矩形面積之和,從而得數(shù)列{an},設這個數(shù)列的前n項和為Sn
(Ⅰ) 求a2與an
(Ⅱ) 求Sn,并證明Sn
13

查看答案和解析>>

同步練習冊答案