Question

已知橢圓C₁的中心在原點(diǎn)，離心率為

4

5

，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為10．過雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右焦點(diǎn)F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線C₂于M、N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若雙曲線C₂與橢圓C₁有公共的焦點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點(diǎn)A，求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點(diǎn)，求雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先設(shè)橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1(a1＞b1＞0)，根據(jù)橢圓的幾何列出方程即可求出各個系數(shù)，從而得出橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F₂（c.0），將x=c代入雙曲線方程，得M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得出|MN|=

2b2

a

，又以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點(diǎn)A，且|AF₂|=a+c，從而建立等式求出離心率，最后即得雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點(diǎn)，則圓的半徑至少要取到a+c，即有a+c≤

b2

a

，兩邊同除以a²，即可求出雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

解答：解：（I）設(shè)橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1(a1＞b1＞0)，根據(jù)題意：
2a₁=10，則a₁=5．又e₁=

c1

a1

=

4

5

，∴c₁=4，b₁=3
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

9

=1
（II）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F₂（c.0），將x=c代入雙曲線方程，得y=±

b2

a

，即為M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即|MN|=

2b2

a

∵以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點(diǎn)A，且|AF₂|=a+c，
∴a+c=

b2

a

，
即a²+ac=b²=c²-a²，
整理，得2a²+ac-c²=0，即有e²-e-2=0，又e＞1
∴e=2
又雙曲線C₂與橢圓C₁有公共的焦點(diǎn)，則c=4
∴a=2，b²=12
雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

12

=1
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點(diǎn)，
∴圓的半徑至少要取到a+c，即有a+c≤

b2

a

，
兩邊同除以a²，得
e²-e-2≥0，又e＞1
∴e≥2
故雙曲線C₂的離心率的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的綜合問題，著重考查其標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，屬于中檔題．