Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線x=4的距離等于到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離的2倍，
（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過F₁且斜率k=1的直線交上述軌跡于C、D兩點(diǎn)，若A（2，0），求△ACD的面積S．

Answer 1

分析：（1）將已知條件動點(diǎn)P到直線x=4的距離等于到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離的2倍，用坐標(biāo)表示為|x-4|=2

(x-1)2+y2

，化簡得到動點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程．
（2）寫出直線的方程，將直線方程代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理得到|y₁-y₂|，利用三角形的面積公式S△ACD=

1

2

|AF1|•|y1-y2|求出△ACD的面積S．

解答：解：（1）設(shè)動點(diǎn)P（x，y），由題設(shè)知|x-4|=2

(x-1)2+y2

，
化簡得動點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）過F₁（1，0）且斜率k=1的直線方程為y=x-1代入橢圓方程消去y，
得　7x²-8x-8=0． 
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則|y1-y2|=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

12 2

7

而S△ACD=

1

2

|AF1|•|y1-y2|=

1

2

×1×

12 2

7

=

6 2

7

點(diǎn)評：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般思路是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理找突破口．