Question

已知二次函數(shù)f (x)=x2+mx+n對(duì)任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，設(shè)向量= ( sinx , 2) ， = (2sinx ,)，= ( cos2x , 1 )， =(1,2)，

（Ⅰ）求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，求不等式f (·)＞f (·)的解集.

 

Answer 1

(1) 增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2) { x|＜x＜ }

【解析】

試題分析：（1）由已知可知f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，所以f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2) 因?yàn)楫?dāng)x∈[0,π]時(shí)·=（sinx， 2）·（2sinx,）=2sin2x＋1≥1，·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，而函數(shù)f(x)在是[1，+∞）上為增函數(shù),所以 f (·)＞f (·)f(2sin2x＋1)＞ f(cos2x＋2) cos2x＜0kπ＋＜x＜kπ＋, k∈z ,又0≤x≤π,所以＜x＜.

 

試題解析：（1）設(shè)f(x)圖象上的兩點(diǎn)為A(－x,y1）、B(2＋x, y2），因?yàn)?1

f (－x) = f (2＋x)，所以y1= y2

由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，

∴f(x)的增區(qū)間為； f(x) 的減區(qū)間為

（2）∵·=（sinx， 2）·（2sinx,）=2sin2x＋1≥1，

·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，

∵f(x)在是[1，+∞）上為增函數(shù)，∴f (·)＞f (·)f(2sin2x＋1)＞ f(cos2x＋2)

2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2

cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z

kπ＋＜x＜kπ＋, k∈z

∵0≤x≤π ∴＜x＜

綜上所述，不等式f (·)＞f (·)的解集是：{ x|＜x＜ }

考點(diǎn)：1.函數(shù)的圖象與性質(zhì);2.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用