Question

在三棱錐A-BCD中，AD⊥面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，，E、F分別是AC和BC的中點．
（1）求三棱錐E-CDF的體積；
（2）求二面角E-DF-C的大小（用反三角函數值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點，以DB、DC、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設點E到平面BCD的距離為d，則，然后根據錐體的體積公式解之即可．
（2）平面BCD的一個法向量為，然后求出平面DEF一個法向量，最后根據設二面角E-DF-C的大小為θ，由圖形可知θ是銳角，則二面角的余弦值為，從而求出二面角．
解答：解：（1）以D為原點，以DB、DC、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
則D（0，0，0），A（0，0，2），，…（2分），
因為AD⊥平面BCD，所以平面BCD的一個法向量為，…（3分）
，
設點E到平面BCD的距離為d，則，
即三棱錐E-CDF的高為1，…（4分）
因為點F是BC的中點，所以S_△CDF=S_△BCD，…（5分）
所以三棱錐E-CDE的體積_△CDF=．…（7分）
（2），，
設平面DEF一個法向量為，則，，從而，，即，…（9分）
取，則x=z=3，．…（10分）
設二面角E-DF-C的大小為θ，由圖形可知θ是銳角，
所以．…（11分）
因此，二面角E-DF-C的大小為．…（12分）

點評：本題主要考查了錐體的體積計算，以及二面角平面角的度量，同時考查了利用空間向量的方法求解立體幾何問題，屬于中檔題．