已知函數(shù).

(Ⅰ)求在處的切線方程；

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若，求證：.

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）當，的單調(diào)增區(qū)間；當時,函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)及切點，利用直線的點斜式方程即可得切線方程.

（Ⅱ）將求導(dǎo)，利用求得其遞增區(qū)間，求得其遞減區(qū)間.

在本題中，，由得：.當, 的單調(diào)增區(qū)間；

當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數(shù)有什么關(guān)系？待證不等式可做如下變形： ，最后這個不等式與有聯(lián)系嗎？我們往下看.

,所以在上是增函數(shù).

因為，所以

即從這兒可以看出，有點聯(lián)系了.同理，

所以，

與待證不等式比較，只要問題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問題得證.

試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即  3分

（Ⅱ），

，     4分

，,        5分

當，的單調(diào)增區(qū)間；     6分

當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.   8分

（Ⅲ）,所以在上是增函數(shù), 上是減函數(shù)

因為，所以

即,同理.

所以

又因為當且僅當“”時，取等號.

又，,

所以,所以，

所以：.      14分

考點：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等式的證明.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆內(nèi)蒙古巴市高一12月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，求：

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）求函數(shù)的最大值、最小值及取得最大值、最小值的

（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014屆貴州省高一5月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（1）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間；

（2）計算：.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年安徽省高三第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，

(Ⅰ)求函數(shù)的最大值和最小正周期；

(Ⅱ)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別且,,若求的值．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2013屆安徽省蚌埠市高二下學期期中聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）

已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;       

(2)若,試求函數(shù)在此區(qū)間上的最大值與最小值.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：山西省2011學年高二期末考試數(shù)學 題型：解答題

（12分）已知函數(shù)，求：

 

（1）函數(shù)y的最大值，最小值及最小正周期；

（2）函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間。

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案