Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為，極大值為，無極小值，（2）當時，函數(shù)沒有零點；當或時.函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)有2個零點.

【解析】

（1）求導(dǎo)，求出的解，即可求出單調(diào)區(qū)間，進而求出極值；

（2）求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，確定極值，根據(jù)極值的正負以及零點存在性定理，對分類討論，即可求解.

由題得，函數(shù)的定義域為.

（1）當時，，

所以，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以當時，有極大值，

且極大值為，無極小值.

（2）由，得.

當時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，

又，所以函數(shù)有且只有一個零點；

當時，令，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以的極大值為

，

①當，即得時，

解得，此時函數(shù)沒有零點；

②當，即時，函數(shù)有1個零點；

③當，即時，

.

當時，令，

則在上恒成立，

所以，即，

所以，

故當且時，.

當時，有，

所以函數(shù)有2個零點.

綜上所述：當時，函數(shù)沒有零點；

當或時.函數(shù)有1個零點；

當時，函數(shù)有2個零點.