Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)關(guān)于x的不等式|x-1|≤a-x．
（I） 當(dāng)a=2，解上述不等式．
（II）若上述關(guān)于x的不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I） 當(dāng)a=2時(shí)，不等式等價(jià)于①

x≥1 x-1≤2-x

，或 ②

x＜1 1-x≤2-x

，分別求出①、②的解集，再取并集，即得所求．
（II）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式即 x≤

a+1

2

，要使不等式有解，需x的最小值小于或等于

a+1

2

，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．當(dāng)x＜1時(shí)，不等式即 1≤a，綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I） 當(dāng)a=2，上述不等式為|x-1|≤2-x，不等式等價(jià)于①

x≥1 x-1≤2-x

，或 ②

x＜1 1-x≤2-x

．
解①得 1≤x≤

3

2

，解②得 x＜1，故不等式的解集為（-∞，

3

2

]．
（II）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式即 x-1≤a-x，即 x≤

a+1

2

．要使不等式有解，需x的最小值小于或等于

a+1

2

，∴1≤

a+1

2

，解得a≥1．
當(dāng)x＜1時(shí)，不等式即1-x≤a-x，即 1≤a，此時(shí)，不等式有解，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．