Question

對于0＜a＜1，給出下列五個不等式：
①a

1

a

＞(

1

a

)a
②(1+

1

a

)a＞a1+

1

a

③(1-a)a＞(

1

a

-1)a
④log1+a(1+

1

a

)＞log1+

1

a

(1+a)
⑤loga(1+a)＞log

1

a

(1+

1

a

)
其中成立的不等式個數(shù)是（　�。�

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①由0＜a＜1知

1

a

＞-a，y=a^x是減函數(shù)，可以判定a

1

a

與a^-a（即(

1

a

)a）的大��；
②由0＜a＜1知(1+

1

a

)a＞1，a1+

1

a

＜1，可以判定(1+

1

a

)a與a1+

1

a

的大��；
③由0＜a＜1知0＜1-a＜

1

a

-1，可以判定（1-a）^a與(

1

a

-1)a的大��；
④由0＜a＜1知1＜1+a＜1+

1

a

，可以判定log_1+a（1+

1

a

）與log1+

1

a

（1+a）的大�。�
⑤由0＜a＜1，可以判定log_a（1+a）與log

1

a

（1+

1

a

）的大小．

解答：解：①∵0＜a＜1，∴

1

a

＞-a，∴a

1

a

＜a^-a=(

1

a

)a，∴a

1

a

＞(

1

a

)a錯誤；
②∵0＜a＜1，∴(1+

1

a

)a＞1，0＜a1+

1

a

＜1，∴(1+

1

a

)a＞a1+

1

a

正確；
③∵0＜a＜1，∴

1-a

1 a -1

=a＜1，∴0＜1-a＜

1

a

-1，∴（1-a）^a＜(

1

a

-1)a，∴(1-a)a＞(

1

a

-1)a錯誤；
④∵0＜a＜1，∴1＜1+a＜1+

1

a

，∴l(xiāng)og_1+a（1+

1

a

）＞1，0＜log1+

1

a

（1+a）＜1，∴log1+a(1+

1

a

)＞log1+

1

a

(1+a)正確；
⑤∵0＜a＜1，∴l(xiāng)og_a（1+a）＜0，log

1

a

（1+

1

a

）＞0，∴loga(1+a)＞log

1

a

(1+

1

a

)錯誤；
所以，其中成立的不等式是②④；
故選：C．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的靈活應(yīng)用問題；解題時要靈活應(yīng)用a⁰=1，log_a1=0，log_aa=1（其中a＞0，且≠1）等知識．