Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC中點，PO⊥平面ABCD，M為PD中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）證明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）證明：平面PAD⊥平面PAC．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連MO，BD，BD∩AC=O
∵O為AC中點，M為PD中點
∴MO∥PB
∵PB?平面ACM，MO?平面ACM
∴PB∥平面ACM；
（Ⅱ）∵∠ADC=45°，AD=AC，∴AD⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，∴AD⊥PO，
∵PO∩AC=O
∴AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）∵AD⊥平面PAC，AD?平面PAD
∴平面PAD⊥平面PAC．
分析：（Ⅰ）證明PB∥平面ACM，利用線面平行的判定定理，證明MO∥PB即可；
（Ⅱ）證明AD⊥平面PAC，利用線面垂直的判定定理，證明AD⊥AC，AD⊥PO即可；
（Ⅲ）根據(jù)AD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理，可證平面PAD⊥平面PAC．
點評：本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直，解題的關(guān)鍵是正確運用線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理，屬于中檔題．