Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，其中.證明：的圖象在圖象的下方.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算和的值，點斜式求出切線方程即可.

（Ⅱ）設(shè)，并求導(dǎo).將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上，恒成立，或者恒成立，通過特殊值，且，確定恒成立，通過參數(shù)分離，求得實數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ）設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)最小值在區(qū)間，并證明. 即的圖象在圖象的下方.

詳解：解：（Ⅰ）求導(dǎo)，得，

又因為

所以曲線在點處的切線方程為

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，

求導(dǎo)，得，

因為函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，

所以在區(qū)間上，恒成立，或者恒成立，

又因為，且，

所以在區(qū)間，只能是恒成立，即恒成立.

又因為函數(shù)在在區(qū)間上單調(diào)遞減，，

所以.

(Ⅲ）證明：設(shè).

求導(dǎo)，得.

設(shè)，則（其中）.

所以當(dāng)時，（即）為增函數(shù).

又因為，

所以，存在唯一的，使得

且與在區(qū)間上的情況如下：

	-	0	+
	↘		↗

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以 .

又因為，，

所以，

所以，即的圖象在圖象的下方.