Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x³+mx²-nx（m，n為實數(shù)）．
（1）若x=1是函數(shù)y=g（x）的一個極值點，求m與n的關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集為P，且（0，+∞）⊆P，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）g'（x）=3x²+2mx-n，
由題意得，∴n=2m+3（m≠-3）．
（2）由（1）知：g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，
令g'（x）=0，得
①當，即m＞-3時，由g'（x）＞0得或x＞1，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是；
②當，即m＜-3時，由g'（x）＞0得x＜1或，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，
即：2xlnx≤3x²+2mx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
可得在x∈（0，+∞）上恒成立，
設，
則，
令h'（x）=0，得（舍），
∵當0＜x＜1時，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當x＞1時，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴m≥-2，即m的取值范圍是[-2，+∞）
分析：（1）由函數(shù)極值的定義，先求函數(shù)g（x）=x³+mx²-nx的導函數(shù)，由可得m與n的關(guān)系式
（2）在（1）的條件下g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，解不等式g'（x）＞0，即可得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，但需要比較根1與的大小，因此需討論后得結(jié)果
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，參變分離后可轉(zhuǎn)化為在x∈（0，+∞）上恒成立，從而只需求的最大值即可，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性可得結(jié)果
點評：本題綜合考查了導數(shù)在函數(shù)極值、單調(diào)性、最值中的應用，解題時要認真體會導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的積極作用，規(guī)范解題，還要注意運算技巧和分類討論