Question

某商店采用分期付款的方式促銷一款價格每臺為6000元的電腦．商店規(guī)定，購買時先支付貨款的，剩余部分在三年內(nèi)按每月底等額還款的方式支付欠款，且結(jié)算欠款的利息．已知欠款的月利率為0.5%．
（1）到第一個月底，貨主在第一次還款之前，他欠商店多少元？
（2）假設(shè)貨主每月還商店a元，寫出在第n（n=1，2，…36）個月末還款后，貨主對商店欠款數(shù)的表達(dá)式．
（3）每月的還款額為多少元（精確到0.01）？

Answer 1

解：（1）因為購買電腦時，貨主欠商店的貨款，
即6000×=4000（元），
又按月利率0.5%到第一個月底的欠款數(shù)應(yīng)為4000（1+0.5%）=4020（元）．
即到第一個月底，
欠款余額為4020元．
（2）設(shè)第n個月底還款后的欠款數(shù)為y_n，
則有y₁=4000（1+0.5%）-a，
y₂=y₁（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）²-a（1+0.5%）-a，
y₃=y₂（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）³-a（1+0.5%）²-a（1+0.5%）-a，
…
y_n=y_n-1（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）ⁿ-a（1+0.5%）^n-1-…-a，
整理得（n=1，2，…，36）．
（3）因為y₃₆=0，所以4000（1+0.5%）³⁶-=0，
即每月還款數(shù) a=（元）．
答：每月的款額為121.69元．
分析：（1）因為購買電腦時，貨主欠商店的貨款計4000元，又按月利率0.5%，能求出到第一個月底，欠款余額．
（2）設(shè)第n個月底還款后的欠款數(shù)為y_n，則有y₁=4000（1+0.5%）-a，y₂=y₁（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）²-a（1+0.5%）-a，…y_n=y_n-1（1+0.5%）-a=4000（1+0.5%）ⁿ-a（1+0.5%）^n-1-…-a，由此能求出y_n．
（3）因為y₃₆=0，所以4000（1+0.5%）³⁶-=0，由此能求出每月的還款數(shù)．
點評：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．