（選做2）已知當(dāng)a≠b及n∈N*時(shí)有公式：an+an-1b+…+arbn-r+…+abn-1+bn=
bn+1-an+1
b-a

（1）利用上述公式證明：對(duì)于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） an＜b n+1-an+1＜（n+1）（b-a） bn．
（2）證明：對(duì)一切n∈N*，有（1+
1
n
）n＜（1+
1
n+1
）n+1．
分析：（1）根據(jù)公式只需證明：（n+1）an＜an+an-1b+…+arbn-r+…+abn-1+bn＜（n+1）bn．利用0＜a＜b，進(jìn)行放縮即可；
（2）由（1）中（n+1）（b-a ） an＜b n+1-an+1令a=（1+
1
n+1
），b=（1+
1
n
），從而有（n+1）[（1+
1
n
）-（1+
1
n+1
）]（1+
1
n
）n＜（1+
1
n+1
）n+1-（1+
1
n
）n+1，逐步化簡即可．
解答：解：（1）根據(jù)公式只需證明：（n+1）an＜an+an-1b+…+arbn-r+…+abn-1+bn＜（n+1）bn．
∵0＜a＜b
∴（n+1）an＜an+an-1b+…+arbn-r+…+abn-1+bn＜（n+1）bn．
故對(duì)于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） an＜b n+1-an+1＜（n+1）（b-a） bn．
證明：（2）由（1）中（n+1）（b-a ） an＜b n+1-an+1
令a=（1+
1
n+1
），b=（1+
1
n
）
則（n+1）[（1+
1
n
）-（1+
1
n+1
）]（1+
1
n
）n＜（1+
1
n+1
）n+1-（1+
1
n
）n+1，
即（n+1）（
1
n
-
1
n+1
）（1+
1
n
）n＜（1+
1
n+1
）n+1-（1+
1
n
）n+1，
即[（1+
1
n
）-1]（1+
1
n
）n＜（1+
1
n+1
）n+1-（1+
1
n
）n+1，
即（1+
1
n
）n-（1+
1
n
）n+1＜（1+
1
n+1
）n+1-（1+
1
n
）n+1，
即（1+
1
n
）n＜（1+
1
n+1
）n+1，
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為素材，考查不等式的證明，考查不等式的運(yùn)用，有較強(qiáng)的難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•開封二模）（選做題）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集為M．
（1）求M；
（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)閱記分）
A．（幾何證明選做題） 如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，HB=2．則DE=
8
8
．
B．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知直線C1
x=1+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），C2
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)），當(dāng)α=
π
3
時(shí)，C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為
(1，0)；(
1
2
，-
3
2
)
(1，0)；(
1
2
，-
3
2
)
．
C．（不等式選做題）若不等式|2a-1|≤|x+
1
x
|對(duì)一切非零實(shí)數(shù)a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍
[-
1
2
，
3
2
]
[-
1
2
，
3
2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省期末題 題型：解答題

（選做題）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集為M．
（1）求M；
（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006-2007學(xué)年廣東省深圳中學(xué)高二（上）第六學(xué)段數(shù)學(xué)試卷（選修2-1、4-5）（解析版） 題型：解答題

（選做2）已知當(dāng)a≠b及n∈N*時(shí)有公式：an+an-1b+…+arbn-r+…+abn-1+bn=
（1）利用上述公式證明：對(duì)于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） an＜b n+1-an+1＜（n+1）（b-a） bn．
（2）證明：對(duì)一切n∈N*，有（1+）n＜（1+）n+1．

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