Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）將代入方程得到，結(jié)合題中條件（數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，得到）求出的值，從而得到的值；（2）由十字相乘法結(jié)合得到的表達(dá)式，然后在的情況下，由求出數(shù)列的表達(dá)式，并驗(yàn)證是否滿足該表達(dá)式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）解法一是利用放縮法得到
，于是得到，最后利用裂項(xiàng)求和法證明題中的不等式；解法二是保持不放縮，在的條件下放縮為
，最后在和時(shí)利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)法證明相應(yīng)的不等式.
（1）令得：，即，，
，，即；
（2）由，得，
，，從而，，
所以當(dāng)時(shí)，，
又，；
（3）解法一：當(dāng)時(shí)，，




.
證法二：當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，，
則
 
.與的關(guān)系考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，以及利用放縮法證明數(shù)列不等式的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中等偏難題.