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如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求銳二面角的余弦值.

（1）詳見解析，（2）

解析試題分析：（1）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過計算設，則.∴，∴.后者通過線面垂直與線線垂直的轉化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通過作、證、算，本題可過作,則為所求二面角的平面角.也可利用空間向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量數量積求出兩法向量的夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得出結論.
試題解析：（1）連結，∵是等腰直角三角形斜邊的中點，∴.
又三棱柱為直三棱柱，
∴面面，
∴面，.     2分
設，則.
∴，∴.           4分
又，∴ 平面.          6分
（2）以為坐標原點，分別為軸建立直角坐標系如圖，設，

則，
，.          8分
由（1）知，平面，
∴可取平面的法向量.
設平面的法向量為，
由
∴可取.          10分
設銳二面角的大小為，
則.
∴所求銳二面角的余弦值為.          12分
考點：線面垂直判定定理，利用空間向量求二面角

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，邊長為1的正三角形所在平面與直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分別是線段、的中點．

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,在長方體中,點在棱上.

（1）求異面直線與所成的角；
（2）若二面角的大小為,求點到平面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知三棱柱，平面，，，四邊形為正方形，分別為中點．
（1）求證：∥面；
（2）求二面角——的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱⊥底面，，是的中點，作交于點．

（1）證明平面；
（2）證明平面．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為正方形，側面底面．為等腰直角三角形，且．，分別為底邊和側棱的中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別為,,的中點,,.

(1)設是的中點,證明:平面;
(2)證明:在內存在一點,使平面,并求點到,的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且，.

（1）求證：;
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.

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