4、給定項數(shù)為m(m∈N*,m≥3)的數(shù)列{an},其中ai∈{0,1}(i=1,2,…,m).若存在一個正整數(shù)k(2≤k≤m-1),若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序對應相等,則稱數(shù)列{an}是“k階可重復數(shù)列”,例如數(shù)列{an}:0,1,1,0,1,1,0.因為a1,a2,a3,a4與a4,a5,a6,a7按次序對應相等,所以數(shù)列{an}是“4階可重復數(shù)列”.
(Ⅰ)分別判斷下列數(shù)列
①{bn}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0.
②{cn}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.是否是“5階可重復數(shù)列”?如果是,請寫出重復的這5項;
(Ⅱ)若數(shù)為m的數(shù)列{an}一定是“3階可重復數(shù)列”,則m的最小值是多少?說明理由;
(Ⅲ)假設數(shù)列{an}不是“5階可重復數(shù)列”,若在其最后一項am后再添加一項0或1,均可使新數(shù)列是“5階可重復數(shù)列”,且a4=1,求數(shù)列{an}的最后一項am的值.
分析:(Ⅰ)觀察數(shù)列特點看元素是否按次序對應相等即看判斷數(shù)列是否為5階可重復數(shù)列;
(Ⅱ)數(shù)為m的數(shù)列{an}一定是3階可重復數(shù)列,數(shù)列的每一項只可以是0或1,則連續(xù)3項共有8種不同的情況,m=11數(shù)列有九組連續(xù)3項,m=10不是3階可重復數(shù)列,而3≤m<10時,均存在不是“3階可重復數(shù)列”的數(shù)列,要使數(shù)列一定是3階可重復數(shù)列m的最小值必須是11;
(Ⅲ)利用反證法證明a4=am=1.假設如果a1,a2,a3,a4與am-3,am-2,am-1,am不能按次序對應相等,那么必有2≤i,j≤m-4,i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3、aj,aj+1,aj+2,aj+3與am-3,am-2,am-1,am按次序對應相等.考慮ai-1,aj-1和am-4,其中必有兩個相同,這就導致數(shù)列{an}中有兩個連續(xù)的五項恰按次序對應相等,從而數(shù)列{an}是“5階可重復數(shù)列”,這和題設中數(shù)列{an}不是“5階可重復數(shù)列”矛盾得證.
解答:解:(Ⅰ)記數(shù)列①為{bn},因為b2,b3,b4,b5,b6與b6,b7,b8,b9,b10按次序對應相等,
所以數(shù)列①是“5階可重復數(shù)列”,重復的這五項為0,0,1,1,0;
記數(shù)列②為{cn},因為c1,c2,c3,c4,c5、c2,c3,c4,c5,c6、c3,c4,c5,c6,c7、c4,c5,c6,c7,c8、c5,c6,c7,c8,c9、c6,c7,c8,c9,c10沒有完全相同的,所以{cn}不是“5階可重復數(shù)列”.
(Ⅱ)因為數(shù)列{an}的每一項只可以是0或1,所以連續(xù)3項共有23=8種不同的情形.
若m=11,則數(shù)列{an}中有9組連續(xù)3項,則這其中至少有兩組按次序對應相等,即項數(shù)為11的數(shù)列{an}一定是“3階可重復數(shù)列”;若m=10,數(shù)列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3階可重復數(shù)列”;則3≤m<10時,
均存在不是“3階可重復數(shù)列”的數(shù)列{an}.
所以,要使數(shù)列{an}一定是“3階可重復數(shù)列”,則m的最小值是11.
(Ⅲ)由于數(shù)列{an}在其最后一項am后再添加一項0或1,均可使新數(shù)列是“5階可重復數(shù)列”,即在數(shù)列{an}的末項am后再添加一項0或1,則存在i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3,ai+4與am-3,am-2,am-1,am,0按次序對應相等,或aj,aj+1,aj+2,aj+3,aj+4與am-3,am-2,am-1,am,1按次序對應相等,
如果a1,a2,a3,a4與am-3,am-2,am-1,am不能按次序對應相等,那么必有2≤i,j≤m-4,i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3、aj,aj+1,aj+2,aj+3與am-3,am-2,am-1,am按次序對應相等.
此時考慮ai-1,aj-1和am-4,其中必有兩個相同,這就導致數(shù)列{an}中有兩個連續(xù)的五項恰按次序對應相等,從而數(shù)列{an}是“5階可重復數(shù)列”,這和題設中數(shù)列{an}不是“5階可重復數(shù)列”矛盾;
所以a1,a2,a3,a4與am-3,am-2,am-1,am按次序對應相等,
從而am=a4=1.
點評:考查學生理解數(shù)列概念,靈活運用數(shù)列表示法的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

15、給定項數(shù)為m (m∈N*,m≥3)的數(shù)列{an},其中ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,m),這樣的數(shù)列叫”0-1數(shù)列”.若存在一個正整數(shù)k (2≤k≤m-1),使得數(shù)列{an}中某連續(xù)k項與該數(shù)列中另一個連續(xù)k項恰好按次序對應相等,則稱數(shù)列{an}是“k階可重復數(shù)列”.例如數(shù)列{an}:0,1,1,0,1,1,0,因為a1,a2,a3,a4與a4,a5,a6,a7按次序對應相等,所以數(shù)列{an}是“4階可重復數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列{bn}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,則該數(shù)列
“5階可重復數(shù)列”(填“是”或“不是”);
(2)要使項數(shù)為m的所有”0-1數(shù)列”都為“2階可重復數(shù)列”,則m的最小值是
6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•武漢模擬)給定項數(shù)為m(m∈N*,m≥3)的數(shù)列{an},其中ai∈{0,1}(i=1,2,…m).若存在一個正整數(shù)k(2≤k≤m-1),若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序對應相等,則稱數(shù)列{an}是“k階可重復數(shù)列”.例如數(shù)列{an}:0,1,1,0,1,1,0.因為a1,a2,a3,a4與a4,a5,a6,a7按次序對應相等,所以數(shù)列{an}是“4階可重復數(shù)列”.假設數(shù)列{an}不是“5階可重復數(shù)列”,若在其最后一項am后再添加一項0或1,均可使新數(shù)列是“5階可重復數(shù)列”,且a4=1,數(shù)列{an}的最后一項am=
1
1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年高考模擬數(shù)學專題:壓軸大題(解析版) 題型:解答題

給定項數(shù)為m(m∈N*,m≥3)的數(shù)列{an},其中ai∈{0,1}(i=1,2,…,m).若存在一個正整數(shù)k(2≤k≤m-1),若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序對應相等,則稱數(shù)列{an}是“k階可重復數(shù)列”,例如數(shù)列{an}:0,1,1,0,1,1,0.因為a1,a2,a3,a4與a4,a5,a6,a7按次序對應相等,所以數(shù)列{an}是“4階可重復數(shù)列”.
(Ⅰ)分別判斷下列數(shù)列
①{bn}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0.
②{cn}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.是否是“5階可重復數(shù)列”?如果是,請寫出重復的這5項;
(Ⅱ)若數(shù)為m的數(shù)列{an}一定是“3階可重復數(shù)列”,則m的最小值是多少?說明理由;
(Ⅲ)假設數(shù)列{an}不是“5階可重復數(shù)列”,若在其最后一項am后再添加一項0或1,均可使新數(shù)列是“5階可重復數(shù)列”,且a4=1,求數(shù)列{an}的最后一項am的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010年高考數(shù)學專項復習:創(chuàng)新題(2)(解析版) 題型:解答題

給定項數(shù)為m(m∈N*,m≥3)的數(shù)列{an},其中ai∈{0,1}(i=1,2,…,m).若存在一個正整數(shù)k(2≤k≤m-1),若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序對應相等,則稱數(shù)列{an}是“k階可重復數(shù)列”,例如數(shù)列{an}:0,1,1,0,1,1,0.因為a1,a2,a3,a4與a4,a5,a6,a7按次序對應相等,所以數(shù)列{an}是“4階可重復數(shù)列”.
(Ⅰ)分別判斷下列數(shù)列
①{bn}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0.
②{cn}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.是否是“5階可重復數(shù)列”?如果是,請寫出重復的這5項;
(Ⅱ)若數(shù)為m的數(shù)列{an}一定是“3階可重復數(shù)列”,則m的最小值是多少?說明理由;
(Ⅲ)假設數(shù)列{an}不是“5階可重復數(shù)列”,若在其最后一項am后再添加一項0或1,均可使新數(shù)列是“5階可重復數(shù)列”,且a4=1,求數(shù)列{an}的最后一項am的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案