已知函數(shù)f(x)=
x2
1+x2

（1）由f(2)=
4
5
，f(
1
2
)=
1
5
，f(3)=
9
10
，f(
1
3
)=
1
10
這幾個函數(shù)值，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f(
1
x
)有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)的值；
（3）判斷函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．
分析：（1）通過觀察這幾個函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)f（x）+f（
1
x
）=1，由函數(shù)f（x）的解析式可得到證明；
（2）利用（1）中的結(jié)論將自變量互為的兩個函數(shù)值相加即可救是答案；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可，先設(shè)0＜x1＜x2由0＜x1＜x2知x1-x2＜0最后證得：f（x1）＜f（x2）從而
函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
解答：解：（1）f（x）+f（
1
x
）=（12分）
f（x）+f（
1
x
）=
x2
1+x2
+
1
x2
 
1+
1
x2
 
=1（5分）
（2）
f(1)+f(2)+f(3)++f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)++f(
1
2010
)
=2009+
1
2
=
4019
2
（8分）
（3）設(shè)0＜x1＜x2
f(x1)-f(x2)=
x
2
1
1+
x
2
1
-
x
2
2
1+
x
2
2
=
x
2
1
(1+
x
2
2
)-
x
2
2
(1+
x
2
1
)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
=
x
2
1
-
x
2
2
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
=
(x1+x2)(x1-x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
（11分）
由0＜x1＜x2知x1-x2＜0（12分）
所以有
(x1+x2)(x1-x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)
＜0即f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）
函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)（14分）
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)的值、歸納推理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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