Question

過點B（0，1）的直線l₁交曲線x=2于P（2，y），過點B'（0，-1）的直線l₂交x軸于P'（x，0）點，，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線l與C相交于不同的兩點S、T，已知點S的坐標為（-2，0），點Q（0，m）在線段ST的垂直平分線上且≤4，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定直線l₁、l₂的方程，聯(lián)立方程可得動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，確定線段ST的中點坐標，分類討論，利用≤4，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意，直線l₁的方程是，
∵，∴l(xiāng)₁的方程是
若直線l₂與y軸重合，則M（0，1）；
若直線l₂不與y重合，可求得直線l₂的方程是，與l₁的方程聯(lián)立消去x得，
因l₁不經過（0，-1），故動點M的軌跡C的方程是（y≠-1）…（5分）
（Ⅱ）設T（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2）
于是S、T兩點的坐標滿足方程組，由方程消去y并整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=得x₁=，從而y₁=
設線段ST的中點為N，則N（，）…（7分）
以下分兩種情況：①當k=0時，點T的坐標為（2，0），線段ST的垂直平分線為y軸，
于是，由≤4得：-2≤m≤2．
②當k≠0時，線段ST的垂直平分線方程為y-=-（x+）
令x=0，得m=
∵，∴，
由=-2x₁-m（y₁-m）=+（+）=≤4
解得-≤k≤且k≠0，∴m==
∴當-≤k＜0時，≤-4；當0＜k≤時，≥4
∴-≤m≤，且m≠0
綜上所述，-≤m＜，且m≠0．…（12分）
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．