Question

11．已知過點P（-1，1）且斜率為k的直線l與拋物線y²=x有且只有一個交點，則k的值等于0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 易知符合條件的直線存在斜率，設直線方程為：y-1=k（x+1），與拋物線方程聯立消掉y得x的方程，按照x²的系數為0，不為0兩種情況進行討論，其中不為0時令△=0可求．

解答 解：當直線不存在斜率時，不符合題意；
當直線存在斜率時，設直線方程為：y-1=k（x+1），
代入拋物線y²=x，可得k²x²+（2k-1+2k²）x+k²+2k+1=0，
當k=0時，方程為：-x+1=0，得x=1，此時只有一個交點（1，1），直線與拋物線相交；
當k≠0時，令△=（2k-1+2k²）²-4k²（k²+2k+1）=0，解得k=$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
綜上，k的值等于0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為：0或$\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，屬中檔題．