Question

已知a∈R，b∈R，且

b≥a b≤a+1 b≥-2a+2

，則

9a2+b2

ab

的最大值與最小值之和為（　�。�

• A．18
• B．16
• C．14
• D．

  49

  4

Answer 1

分析：以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)建立如圖直角坐標(biāo)系，作出題中不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．而k=

b

a

表示區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，可得出1≤

b

a

≤4，再將

9a2+b2

ab

表示成關(guān)于

b

a

的函數(shù)，即可算出

9a2+b2

ab

的最大值與最小值，進(jìn)而得到本題的答案．

解答：解：以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)建立如圖直角坐標(biāo)系，
作出不等式組

b≥a b≤a+1 b≥-2a+2

表示的平面區(qū)域，
得到平行線b=a與b=a+1之間，且在直線b=-2a+2上方的帶形區(qū)域，即如圖的陰影部分，
其中A（

2

3

，

2

3

），B（

1

3

，

4

3

）
∵k=

b

a

表示區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)P與原點(diǎn)連線的斜率
∴當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，

b

a

達(dá)到最小值1；當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，

b

a

達(dá)到最大值4
∵

9a2+b2

ab

=

9a

b

+

b

a

≥2

9a b × b a

=6，當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=3時(shí)取等號；
當(dāng)

b

a

=1時(shí)，

9a

b

+

b

a

有最大值10
∴

9a2+b2

ab

的最大值為10，最小值為6．可得最大值與最小值之和等于16
故選：B

點(diǎn)評：本題給出關(guān)于a、b的不等式組，求目標(biāo)函數(shù)

9a2+b2

ab

的最值，著重考查了二元一次不等式表示的平面區(qū)域、直線的斜率和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．