Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x|+a，g（x）=2|x-1|．
（Ⅰ）若a=0，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若對任意x∈R，f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=0，不等式f（x）≥g（x）?|x|≥2|x-1|，解之即可；
（Ⅱ）對任意x∈R，f（x）≤g（x）恒成立?|x|+a≤2|x-1|恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2|x-1|-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{2-x，x≤0}\\{2-3x，0＜x＜1}\\{x-2，x≥1}\end{array}\right.$，可求得h（x）_min=-1，從而可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）若a=0，則f（x）≥g（x）?|x|≥2|x-1|，
即3x²-8x+4≤0，解得：$\frac{2}{3}$≤x≤2，
所以，原不等式的解集為[$\frac{2}{3}$，2]；
（Ⅱ）若對任意x∈R，f（x）≤g（x）恒成立，即|x|+a≤2|x-1|恒成立，
令h（x）=2|x-1|-|x|，則a≤h（x）_min，
因為h（x）=2|x-1|-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{2-x，x≤0}\\{2-3x，0＜x＜1}\\{x-2，x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤0時，h（x）=2-x≥2；
當(dāng)0＜x＜0時，h（x）=2-3x∈（-1，2）；
當(dāng)x≥1時，h（x）=x-2≥-1；
所以，h（x）_min=-1，
故a≤-1，即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查構(gòu)造函數(shù)思想與分類討論思想的綜合運用，考查絕對值不等式的解法，屬于中檔題．