Question

已知函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x-1(x≤0) -x2+x(x＞0)

，則函數(shù)g（x）=f（log 

1

2

x）的單調(diào)遞增區(qū)間為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求g（x）=

x-1(x≥1) -log2 1 2 x+log 1 2 x(0＜x＜1)

，然后在每段函數(shù)里求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可，可通過求導(dǎo)，解g′（x）＞0得出函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：解log

1

2

x≤0得：x≥1，(

1

2

)l0g

1

2

x=x；
∴g(x)=

x-1(x≥1) -log2 1 2 x+log 1 2 x(0＜x＜1)

；
當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=x-1在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)：g′（x）=

ln 1 2 (1-log 1 2 x2)

x

；
解ln

1

2

(1-log

1

2

x2)＞0得：0＜x＜

2

2

，∴函數(shù)g（x）在（0，

2

2

]上單調(diào)遞增．
綜上得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

2

2

]∪[1，+∞）．
故答案為：（0，

2

2

]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：要在每一段函數(shù)里求g（x），考查分段函數(shù)的單調(diào)性，及通過求導(dǎo)，解g′（x）＞0得到g（x）的單調(diào)增區(qū)間的方法．