Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA1=

3

，D是BC中點，E是AA₁中點．
（Ⅰ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（Ⅱ）求證：AD⊥BC₁；
（Ⅲ）求證：DE∥面A₁C₁B．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）利用體積公式，可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（Ⅱ）證明面ABC⊥面BC₁，可得AD⊥面BC₁，即可證明AD⊥BC₁；
（Ⅲ）取CC₁中點F，連結DF，EF，證明面DEF∥面

A

1

C1B，即可證明DE∥面A₁C₁B．

解答： （Ⅰ）解：V=S△ABC•AA1=

1

2

×

2

×

2

×

3

=

3

---------------------------------（3分）
（Ⅱ）證明：∵AB=AC=

2

，∴△ABC為等腰三角形
∵D為BC中點，∴AD⊥BC---------------------------------（4分）
∵ABC-A₁B₁C₁為直棱柱，∴面ABC⊥面BC₁------------------------（5分）
∵面ABC∩面BC₁=BC，AD?面ABC，
∴AD⊥面BC₁---------------------------------（6分）
∴AD⊥BC₁---------------------------（7分）
（Ⅲ）證明：取CC₁中點F，連結DF，EF，--------（8分）
∵D，E，F分別為BC，CC₁，AA₁的中點
∴EF∥A₁C₁，DF∥BC₁，-----------------（9分）
∵A₁C₁∩BC₁=C₁，DF∩EF=F
∴面DEF∥面

A

1

C1B-----------------------（11分）
∵DE?面DEF
∴DE∥面A₁C₁B．-----------------------------（12分）

點評：本題考查體積的計算，考查線面垂直，線面平行，正確運用線面垂直，線面平行的判定定理是關鍵．