Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=a^x-1．其中a＞0且a≠1．
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)可得f（2）+f（-2）=0；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0；從而由f（x）=-f（-x）求解析式；
（3）分a＞1與0＜a＜1討論函數(shù)的單調(diào)性，從而解不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（2）+f（-2）=0；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0；
則f（x）=-f（-x）
=-（a^-x-1）
=1-a^-x；
故f（x）=

ax-1，x≥0 1-a-x，x＜0

；
（3）若a＞1，則f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）是R上的增函數(shù)，
∴由f（x）＞0=f（0）解得，
x＞0；
若0＜a＜1，則f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）是R上的減函數(shù)，
∴由f（x）＞0=f（0）解得，
x＜0．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，同時(shí)考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，屬于中檔題．