Question

14．已知函數f（x）=（ax+1）e^x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，求函數f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的定義域，求出導函數，通過a=0，a＞0，a＜0，分別判斷函數f（x）的單調性，求解單調區(qū)間；
（Ⅱ）①當a＞1時，利用f（x）的單調性，求解函數f（x）在區(qū)間上的最小值，②當0＜a≤1時，f求解函數的最小值即可．

解答 解：定義域為R，f′（x）=（ax+1）′e^x+（ax+1）（e^x）′=e^x（ax+a+1）…（2分）
（Ⅰ）①當a=0時，f′（x）=e^x＞0，則f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，+∞）..（3分）
②當a＞0時，解f′（x）＞0得，$x＞-\frac{a+1}{a}$，解f′（x）＜0得，$x＜-\frac{a+1}{a}$，
則f（x）的單調增區(qū)間為$（-\frac{a+1}{a}，+∞）$，f（x）的單調減區(qū)間為$（-∞，-\frac{a+1}{a}）$..（4分）③當a＜0時，解f′（x）＞0得，$x＜-\frac{a+1}{a}$，解f′（x）＜0得，$x＞-\frac{a+1}{a}$，
則f（x）的單調增區(qū)間為$（-∞，-\frac{a+1}{a}）$，[0，1]的單調減區(qū)間為[0，1]..（6分）
（Ⅱ） ①當$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-\frac{a+1}{a}＞-2\end{array}\right.$時，即 當a＞1時，f（x）在$（-2，-\frac{a+1}{a}）$上是減函數，在$（-\frac{a+1}{a}，0）$上是增函數，則函數f（x）在區(qū)間上的最小值為 $f（-\frac{a+1}{a}）=-a{e^{-\frac{a+1}{a}}}$…（8分）
②當$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-\frac{a+1}{a}≤-2\end{array}\right.$時，即  當0＜a≤1時，f（x）在[-2，0]上是增函數，
則函數f（x）在區(qū)間上的最小值為$f（-2）=\frac{1-2a}{e^2}$…（10分）
綜上：當a＞1時，f（x）在區(qū)間上最小值為$-a{e^{-\frac{a+1}{a}}}$
當0＜a≤1時，f（x）在區(qū)間上最小值為$\frac{1-2a}{e^2}$…（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．