Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動點(diǎn)A、B滿足AO⊥BO（如圖所示）．
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；
（Ⅱ）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出三角形的重心，A，B的坐標(biāo)，利用三角形重心的性質(zhì)表示出x和y，利用OA⊥OB推斷出k_OA•k_OB=-1求得x₁x₂+y₁y₂=-1把A，B代入拋物線求得x₁x₂的值，進(jìn)而求得y和x的關(guān)系式即G的軌跡方程．
（II）利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出|OA|和|OB|代入三角形面積公式，利用基本不等式和x₁x₂的值求得三角形面積的最小值．
解答：解：（I）設(shè)△AOB的重心為G（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則（1）
∵OA⊥OB∴k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，（2）
又點(diǎn)A，B在拋物線上，有y₁=x₁²，y₂=x₂²，代入（2）化簡得x₁x₂=-1
∴Y==（x₁²+x₂²）=[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=×（3x）²+=3x²+．
所以重心為G的軌跡方程為y═3x²+．
（II）S_△AOB=|OA||OB|==
由（I）得S_△AOB=≥=×2=1
當(dāng)且僅當(dāng)x₁²=x₂²即|x₁|=|x₂|=1時，等號成立．
所以△AOB的面積存在最小值，存在時求得最小值1．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．