Question

已知兩個(gè)向量集合M={

a

|

a

=（cosα，

7-cos2α

2

），α∈R}，N={

b

|

b

=（cosβ，λ+sinβ），β∈R}，若M∩N≠∅，則λ的取值范圍是（　�。�

Answer 1

分析：M∩N≠Φ，即是說方程組

cosα=cosβ  7-cos2α 2 =λ+sinβ

有解，兩式消去α得出3+sin²β=λ+sinβ后，移向得出λ=sin²β-sinβ-3=（sinβ-

1

2

）²+

11

4

．根據(jù)sinβ的有界性求出λ的取值范圍．

解答：解：M∩N≠Φ，即是說方程組

cosα=cosβ  ① 7-cos2α 2 =λ+sinβ   ②

有解．
而

7-cos2α

2

=

7-(1-2sin2α)

2

=3+sin²α，②即為3+sin²α=λ+sinβ③
由①得sin²α=sin²β，代入③消去α得3+sin²β=λ+sinβ，移向得出λ=sin²β-sinβ-3=（sinβ-

1

2

）²+

11

4

．
∵sinβ∈[-1，1]，∴當(dāng)sinβ=

1

2

時(shí)，λ的最小值為

11

4

，當(dāng)sinβ=-1時(shí)，λ的最大值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程思想、函數(shù)思想、分離參數(shù)的思想方法．考查分析、解決、邏輯思維、計(jì)算能力．