Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，記作，，且，證明：（為自然對數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

分析：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)在為增函數(shù)，所以在上恒成立，等價于，

由此可求的取值范圍；

（2）求出，因為有兩極值點(diǎn)，所以，

設(shè)令，則，上式等價于要證，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出即可．

詳解：

（1）由題意可知，函數(shù)的定義域為，

，

因為函數(shù)在為增函數(shù)，所以在上恒成立，

等價于在上恒成立，即，

因為，所以，

故的取值范圍為.

（2）可知，

所以，

因為有兩極值點(diǎn)，所以，

欲證，等價于要證：，即，

所以，因為，所以原式等價于要證明：，①

由，可得，則有，②

由①②原式等價于要證明：，即證，

令，則，上式等價于要證，

令，則

因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)時，，即.

所以原不等式成立，即.