Question

如圖，點P為平行四邊形ABCD外一點，且PD⊥平面ABCD，M為PC中點．
（1）求證：AP∥平面MBD；
（2）若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC∩BD=H，連接EH，由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意證出MH為△PAC中位線，從而得到MH∥PA，利用線面平行的判定定理，即可證出PA∥平面MBD．
（2）由線面垂直的定義證出PD⊥AD，結(jié)合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB，得AD⊥BD，再根據(jù)PD⊥BD且PD、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線，可得BD⊥平面PAD．

解答：解：（1）設(shè)AC∩BD=H，連接EH，
∵H為平行四邊形ABCD對角線的交點，∴H為AC中點，
又∵M為PC中點，∴MH為△PAC中位線，
可得MH∥PA，
MH?平面MBD，PA?平面MBD，
所以PA∥平面MBD．
（2）∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，
又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，
∴AD⊥平面PDB，結(jié)合BD?平面PDB，得AD⊥BD
∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線
∴BD⊥平面PAD．

點評：本題在特殊的四棱錐中證明線面平行和線面垂直，著重考查了空間的平行、垂直位置關(guān)系的判定與證明的知識，屬于中檔題．