Question

已知函數f（x）=2asinxcosx-2acos²x+2a．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）當a＜0時，f（x）在[0，

π

2

]上的最小值為-2-

2

，求a的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先對函數進行恒等變換，化成f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1，再考慮整體思想求函數的單調遞減區(qū)間．
（2）通過恒等變換轉化成f（x）=

2

asin(2x-

π

4

)+a，進一步利用定義域確定函數的值域，根據函數的最小值確定參數a的值．

解答： 解：當a=1時，函數f（x）=2sinxcosx-2cos²x+2=

2

sin(2x-

π

4

)+1
令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ （k∈Z）
解得：

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ （k∈Z）
所以函數f（x）的單調遞減區(qū)間為：[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ] （k∈Z）
（2）函數f（x）=2sinxcosx-2cos²x+2=asin2x-a（cos2x+1）+2a=

2

asin(2x-

π

4

)+a
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∵a＜0
∴當2x-

π

4

=

π

2

時，即x=

3π

8

時，f(x)min=-2-

2

所以：a=-

2

故答案為：（1）函數f（x）的單調遞減區(qū)間為：x∈[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈Z）
（2）a=-

2

點評：本題考查的知識點：三角函數的恒等變換，正弦型函數的單調區(qū)間的求法，根據函數的最值確定參數的值．