Question

已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC、AD的中點．

(1)求證：DE∥平面PFB；

(2)已知二面角P－BF－C的余弦值為，求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因為E，F分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，所以，2分 　　所以，為平行四邊形，3分 　　得，4分 　　又因為平面PFB，且平面PFB， 　　所以DE∥平面PFB．5分 　　(Ⅱ)如圖，以D為原點，射線DA，DC，DP分 　　別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．6分 　　設PD＝a， 　　可得如下點的坐標： 　　P(0，0，a)，F(1，0，0)，B(2，2，0) 　　則有：＝(1，0，－a)，＝(1，2，0) 　　因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為，7分 　　設平面PFB的一個法向量為n＝(x，y，z)，則可得 　　即 　　令x＝1，得，所以．8分 　　由已知，二面角P－BF－C的余弦值為，所以得： 　　， 　　解得a＝2；9分 　　因為PD是四棱錐P－ABCD的高，所以，其體積為．10分