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在△ABC中，已知B=
π
3
，AC=4
3
，D為BC邊上一點．
（1）設AB=3
3
，且AD為∠A的內角平分線，若
AD
=λ
AB
+μ
AC
，求λ、μ的值
（2）若AB=AD，試求△ADC的周長的最大值．
考點：平面向量的綜合題
專題：平面向量及應用
分析：（1）由內角平分線性質知
BD
DC
=
AB
AC
=
3
4
，
BD
=
3
7
BC
，由此能求出λ=
4
7
，μ=
3
7
．
（2）由題設知∠ADC=
2
3
π，
AC
sin∠ADC
=2R，由此得到周長L=8sinC+8sin（
π
3
-C）+4
3
，從而能求出當C=
π
6
時，周長L取最大值為8+4
3
．
解答： 解：（1）由內角平分線性質知
BD
DC
=
AB
AC
=
3
4
，
∴
BD
=
3
7
BC
，
∴
AD
=
AB
+
BD

=
AB
+
3
7
(
AC
-
AB
)
=
4
7
AB
+
3
7
AC
，
∵
AD
=λ
AB
+μ
AC
，
∴λ=
4
7
，μ=
3
7
．
（2）由題設知∠ADC=
2
3
π，
AC
sin∠ADC
=2R，
∴2R=
4
3
3
2
=8，∴AD=2RsinC=8sinC，
DC=2Rsin（
π
3
-C）=8sin（
π
3
-C），
∴周長L=8sinC+8sin（
π
3
-C）+4
3

=8（
1
2
sinC+
3
2
cosC）+4
3

=8sin（C+
π
3
）+4
3
，
∵0＜C＜
π
3
，∴
π
3
＜C+
π
3
＜
2π
3
，
∴當C=
π
6
時，周長L取最大值為8+4
3
．
點評：本題考查實數值的求法，考查三角形周長的最大值的求法，解題時要認真審題，注意內角平分線性質和正弦定理的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設不等式組
0≤x≤6
0≤y≤6
表示區(qū)域為A，不等式x2+y2≤9表示區(qū)域B，
0≤x≤6
x-y≥0
表示區(qū)域C．
（1）在區(qū)域A中任取一點（x，y），求點（x，y）∈B的概率；
（2）在區(qū)域A中任取一點（x，y），求點（x，y）∈C的概率；
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，
π
2
]．求f（x）的最大值和最小值，并指明何時取到最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=
3
（cos2x-sin2x）-2cos2（x+
π
4
）+1的定義域為[0，
π
2
]．
（1）求f（x）的最小值．
（2）△ABC中，A=45°，b=3
2
，邊a的長為函數3-
3
f（x）的最大值，求角B大小及△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A={y|y=x2+x+2，x∈[0，1]}，B={x|y=lg（x-5）}．
（1）求A∩∁RB；
（2）C={x|-x2+ax-1≥0}．若A⊆C，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=
Sn
3n+1
，求數列bn的前n項和Tn．

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求與兩坐標軸的正半軸圍成面積為2平方單位的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于大于1的自然數m的三次冪可以用奇數進行以下方式的“分裂”：23
3
5
，33
7
9
11
，43
13
15
17
19
，…仿此，若m3的“分裂”中有一個數是135，則m的值為
 
．

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