Question

（2013•東莞二模）已知函數g(x)=

1

3

ax3+2x2-2x，函數f（x）是函數g（x）的導函數．
（1）若a=1，求g（x）的單調減區(qū)間；
（2）若對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，求實數a的取值范圍；
（3）在第（2）問求出的實數a的范圍內，若存在一個與a有關的負數M，使得對任意x∈[M，0]時|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相應的a值．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用導數小于0，可得函數的單調減區(qū)間．
（2）先f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

用函數f（x）的表達式表示出來，再進行化簡得-

a

4

（x₁-x₂）²＜0，由此式即可求得實數a的取值范圍；
（3）本小題可以從a的范圍入手，考慮0＜a＜2與a≥2兩種情況，結合二次的象與性質，綜合運用分類討論思想與數形結合思想求解．

解答：解：（1）當a=1時，g（x）=

1

3

x³+2x²-2x，g′（x）=x²+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2-

6

＜x＜-2+

6

        …（2分）
∴當a=1時函數g（x）的單調減區(qū)間為 （-2-

6

，2+

6

）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=ax²+4x-2
依題意知  f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a（

x1+x2

2

）²+4×

x1+x2

2

-2-

a x 2 1 +4x1-2+a x 2 2 +4x2-2

2

=-

a

4

（x₁-x₂）²＜0 …（5分）
因為x₁≠x₂，所以a＞0，即實數a的取值范圍是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax²+4x-2=a（x+

2

a

）²-2-

4

a

，a＞0．
顯然f（0）=-2，由（2）知拋物線的對稱軸x=-

2

a

＜0    …（7分）
①當-2-

4

a

＜-4即0＜a＜2時，M∈（-

2

a

，0）且f（M）=-4
令ax²+4x-2=-4解得  x=

-2± 4-2a

a

        …（8分）
此時M取較大的根，即M=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

…（9分）
∵0＜a＜2，∴M=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

＞-1     …（10分）
②當-2-

4

a

≥-4即a≥2時，M＜-

2

a

且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得 x=

-2± 4+6a

a

            …（11分）
此時M取較小的根，即 M=

-2± 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

…（12分）
∵a≥2，∴M=

-2± 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

≥-3當且僅當a=2時取等號  …（13分）
由于-3＜-1，所以當a=2時，M取得最小值-3  …（14分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．