Question

已知無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項為10，公差為-2的等差數列；a_m+1，a_m+2，…a_2m是首項為，公比為的等比數列（m≥3，m∈N^*），并對任意n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）當m=12時，求a₂₀₁₀；
（2）若，試求m的值；
（3）判斷是否存在m，使S_128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a_n+24=a_n；所以a₂₀₁₀=a₁₈（2分）
a₁₈是以為首項，以為公比的等比數列的第6項，
所以（4分）

（2），所以m≥7（5分）
因為，所以2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N（6分）
（2k+1）m=45，
當k=0時，m=45，成立．
當k=1時，m=15，成立；
當k=2時，m=9成立（9分）
當k≥3時，；
所以m可取9、15、45（10分）

（3）（12分）

設f（m）=704m-64m²，（14分）
g（m）＞1922；
f（m）=-64（m²-11m），對稱軸，
所以f（m）在m=5或6時取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
因為1922＞1920，所以不存在這樣的m（16分）
分析：（1）由a_n+24=a_n，知a₂₀₁₀=a₁₈，a₁₈是以為首項，以為公比的等比數列的第6項，所以．
（2）由，知m≥7，由，知2km+m+7=（2k+1）m+7=52，由此入手可求出m可取9、15、45．
（3）由，知，．設f（m）=704m-64m²，＞1922；f（m）=-64（m²-11m），f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在這樣的m．
點評：本題考查數列的不等式的綜合應用，解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．