設(shè)p>0是一常數(shù),過點Q(2p,0)的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B,以線段AB為直經(jīng)作圓H(H為圓心).試證拋物線頂點在圓H的圓周上;并求圓H的面積最小時直線AB的方程.

【答案】分析:先設(shè)出A,B的坐標(biāo),把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x,根據(jù)韋達(dá)定理可分別求得y1+y2和y1y2及x1+x2和x1x2的從而求得的值,結(jié)果為0,可推斷出OA⊥OB,進(jìn)而可知O必在圓H的圓周上,又根據(jù)H是AB的中點,進(jìn)而可表示出圓心的坐標(biāo),求得|OH|的表達(dá)式,進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得|OH|即圓的半徑的最小值,即進(jìn)而可知當(dāng)a=0時,圓的面積最。
解答:解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則其坐標(biāo)滿足
消去x的y2-2ay-4=0,
,
因此=x1x2+y1y2=0
∴OA⊥OB,故O必在圓H的圓周上,
又由題意圓心H是AB的中點,故

由前已證OH應(yīng)是圓H的半徑,且|OH|=
從而當(dāng)a=0時,圓H的半徑最小,也使圓H的面積最小.

點評:本題主要考查了拋物線的應(yīng)用.考查了考生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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