(06年遼寧卷)(12分)
已知正方形,
分別是邊
的中點(diǎn),將
沿
折起,如圖所示,記二面角
的大小為
(
).
(1)證明平面
;
(2)若為正三角形,試判斷點(diǎn)
在平面
內(nèi)的射影
是否在直線
上,證明你的結(jié)論,并求角
的余弦值.
解析:(Ⅰ)證明:、
分別是正方形
的邊
、
的中點(diǎn).
且
四邊形
是平行四邊形
平面
而
平面
平面
(Ⅱ)解法一:點(diǎn)在平面
內(nèi)的射影
在直線
上,過點(diǎn)
用
平面
垂足為
連接
為正三角形
在
的垂直平分線上。
又是
的垂直平分線
點(diǎn)
在平面
內(nèi)的射影
在直線
上
過作
,垂足為
,連接
則
是二面角
的平面角,即
設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為
,連接
,
在折后圖的中,
為直角三角形,
在中,
解法二:點(diǎn)在平面
內(nèi)的射影
在直線
上,連結(jié)
,在平面
內(nèi)過點(diǎn)
作
,垂足為
為正三角形,
為
的中點(diǎn),
又
平面
平面
又,且
,
平面
,
平面
,
平面
,
為
在平面
內(nèi)的射影
。
點(diǎn)
在平面
內(nèi)的射影
在直線
上
過作
,垂足為
,連結(jié)
,則
,
是二面角
的平面角,即
設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為
。
在折后圖的中,
,
為直角三角形,
,
,
在中,
,
,
解法三:點(diǎn)在平面
內(nèi)的射影
在直線
上連結(jié)
,在平面
內(nèi)過點(diǎn)
作
,垂足為
為正三角形,
為
的中點(diǎn)
又
平面
,
平面
,
平面
平面
又平面
平面
,
平面
,即
為
在平面
內(nèi)的射影
,
點(diǎn)
在平面
內(nèi)的射影
在直線
上。
過作
,垂足為
,連結(jié)
,則
是二面角
的平面角,即
設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為
在折后圖的中,
.
為直角三角形,
.
.
在中,
,
,
,
.????????????12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(06年遼寧卷)(12分)
已知函數(shù),求
(1)函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量
的集合;
(2)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(06年遼寧卷文)(12分)
已知函數(shù),
,其中
,設(shè)
為
的極小值點(diǎn),
為
的極值點(diǎn),
,并且
,將點(diǎn)
依次記為
.
(1)求的值;
(2)若四邊形為梯形且面積為1,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(06年遼寧卷)(14分)
已知點(diǎn)是拋物線
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),
是坐標(biāo)原點(diǎn),向量
滿足
,設(shè)圓
的方程為
.
(1)證明線段是圓
的直徑;
(2)當(dāng)圓的圓心到直線
的距離的最小值為
時(shí),求
的值.
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