(06年遼寧卷)(12分)

已知正方形,分別是邊的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為).

(1)證明平面;

(2)若為正三角形,試判斷點在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值.

 

解析:(Ⅰ)證明:、分別是正方形的邊、的中點.

四邊形是平行四邊形

平面平面

平面

(Ⅱ)解法一:點在平面內(nèi)的射影在直線上,過點平面垂足為連接

為正三角形

的垂直平分線上。

的垂直平分線

在平面內(nèi)的射影在直線

,垂足為,連接

是二面角的平面角,即

設(shè)原正方形的邊長為,連接,

在折后圖的中,

為直角三角形,

中,

解法二:點在平面內(nèi)的射影在直線上,連結(jié),在平面內(nèi)過點,垂足為

為正三角形,的中點,

平面

平面

,且,平面,平面,

平面,

在平面內(nèi)的射影。

在平面內(nèi)的射影在直線

,垂足為,連結(jié),則,

是二面角的平面角,即

設(shè)原正方形的邊長為

在折后圖的中,

為直角三角形,,

,

中,,

,

解法三:點在平面內(nèi)的射影在直線上連結(jié),在平面內(nèi)過點,垂足為

為正三角形,的中點

平面,

平面

平面平面

平面平面,

平面,即在平面內(nèi)的射影

在平面內(nèi)的射影在直線上。

,垂足為,連結(jié),則

是二面角的平面角,即

設(shè)原正方形的邊長為

在折后圖的中,.

為直角三角形,.

.

中,,

,

,

.????????????12分

 

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