Question

命題p：函數(shù)y=log₂（x+

a

x

-3）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q：y=log₂（ax²-4x+1）函數(shù)的值域?yàn)镽．則p是q成立的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)不等式的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)y=log₂（x+

a

x

-3）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；則等價(jià)為y=x+

a

x

-3在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，且2+

a

2

-3＞0，此時(shí)a＞2．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=1-

a

x2

≥0恒成立，即a≤x²，
∵x∈[2，+∞），∴x²∈[4，+∞），故a≤4，
∵a＞2，∴2＜a≤4，即p：2＜a≤4，
命題q：若a=0，則y=log₂（-4x+1），滿足函數(shù)的值域?yàn)镽，
若a≠0，要使y=log₂（ax²-4x+1）函數(shù)的值域?yàn)镽，則

a＞0 △=16-4a≥0

，即

a＞0 a≤4

，
解得0＜a≤4，
綜上0≤a≤4，即q：0≤a≤4，
∴p是q成立的充分不必要條件，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．