Question

【題目】在極坐標系中，圓C的極坐標方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以極點O為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）在直角坐標系中，點P（x，y）是圓C上動點，試求x+2y的最大值，并求出此時點P的直角坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓C的極坐標方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．

∴直角坐標方程為：x2+y2﹣4x﹣4y+3=0，

即（x﹣2）2+（y﹣2）2=5為圓C的普通方程．

利用同角三角函數(shù)的平方關系可得：圓C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，設點P（2+ cosθ，2+ sinθ），

∴x+2y=2+ cosθ+2（2+ ）=6+5

設sinα= ，則 ，

∴x+2y=6+5sin（θ+α），

當sin（θ+α）=1時，（x+2y）max=11，此時，θ+α= ，k∈Z．

∴sinθ=cosα= ，cosθ=sinα= ．

點P的直角坐標為（3，4）時，x+2y取得最大值11

【解析】（Ⅰ）由圓C的極坐標方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．利用互化公式可得直角坐標方程，再利用同角三角函數(shù)的平方關系可得圓C的參數(shù)方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，設點P（2+ cosθ，2+ sinθ），可得x+2y=6+5 ，設sinα= ，則 ，可得x+2y=6+5sin（θ+α），再利用三角函數(shù)的單調性與值域即可得出最大值．