以原點(diǎn)為中心焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線E的一條漸近線的傾斜角為60°，F(xiàn)是雙曲線E的右焦點(diǎn)，M是雙曲線E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)N是線段MF的中點(diǎn)，若|
ON
|=|
NF
|+1，求雙曲線E的方程．
考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)出雙曲線的方程，求出漸近線方程，可得b=
3
a，由中位線定理和雙曲線的定義，可得a=1，進(jìn)而得到b，即有雙曲線的方程．
解答： 解：設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），
漸近線方程為y=±
b
a
x，
則
b
a
=tan60°=
3
，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，
由于點(diǎn)N是線段MF的中點(diǎn)，O為線段FF'的中點(diǎn)，
即有|ON|=
1
2
|MF'|，
設(shè)|NF|=t，則|MF|=2t，
由于M為右支上一點(diǎn)，則由雙曲線的定義，可得|MF'|=2a+2t，
則有|ON|=a+t，
由|
ON
|=|
NF
|+1，即為a+t=t+1，即a=1，b=
3
．
則所求雙曲線的方程為x2-
y2
3
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查中位線定理的運(yùn)用，運(yùn)用雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若曲線x2=|y|+1與直線3x+by=a沒有公共點(diǎn)，則a，b應(yīng)滿足的條件是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，若在矩形OABC中隨機(jī)撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-
1
4
．
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 若過點(diǎn)P（t，0）的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，求證t為常數(shù)，并求出此常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這五場(chǎng)比賽中得分的方差為 （注：方差s2=
1
n
[(x1-
.
x
)2+(x2-
.
x
)2+…+(xn-
.
x
)2]，其中
.
x
為x1，x2，…，xn的平均數(shù)）（　　）
A、5.8B、6.8
C、7.8D、8.8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下面四個(gè)命題：
①f（x）=sin（2x+
π
4
）的對(duì)稱軸方程為x=
kx
2
+
π
8
，k∈Z；
②函數(shù)f（x）=2sin（
π
3
-2x）的單調(diào)減區(qū)間是[-
π
12
+kπ，
5π
12
+kπ]，k∈Z；
③函數(shù)f（x）=sinxcosx-1的最小正周期是2π；
④函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
4
）在[0，
π
2
]上的值域?yàn)閇-
2
2
，
2
2
]
其中正確的命題序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平行四邊形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥平面CDE；
（2）求證：GH∥平面CDE；
（3）求三棱錐D-CEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

正三棱柱有一個(gè)半徑為
3
cm的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（　�。�
A、9
3
cm3
B、54cm3
C、27cm3
D、18
3
cm3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a+a-1=5，求a2+a-2，a
1
2
+a-
1
2
，a
1
2
-a-
1
2
的值．

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