Question

（2008•浦東新區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0．
（1）若2f（1）=f（-1），求a的值；
（2）當a≥1時，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)2f（1）=f（-1）建立等式關(guān)系，解之即可求出a的值；
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂，然后通過化簡變形判定f（x₁）-f（x₂）與0的大小，從而確定函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)則任取1≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0，從而求出a的范圍．

解答：解：（1）由2f（1）=f（-1），可得：2

2

-2a=

2

+a3a=

2

，a=

2

3

…（4分）
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=

x12+1

-ax1-

x 2 2 +1

+ax2=

x12+1

-

x 2 2 +1

-a(x1-x2)
=

x 2 1 - x 2 2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a(x1-x2)=(x1-x2)(

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a)…（6分）
因為0≤x1＜

x 2 1 +1

，0＜x2＜

x 2 2 +1

，所以0＜

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

＜1…（8分）
因為a≥1，則f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減     …（10分）
（3）任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)(

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a)，因為f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，又x₁-x₂＜0，那么

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-a＞0恒成立 （12分）

2

2

＜

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

＜1，…（14分）   所以0＜a≤

2

2

…（16分）

點評：本題主要考查了函數(shù)求值以及函數(shù)單調(diào)性的判定和利用單調(diào)性求參數(shù)范圍等問題，屬于中檔題．