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13.在等差數(shù)列{an}中,a2=5,a1+a3+a4=19.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+an12n=λ(λ為常數(shù)),令cn=bn+1(n∈N*).求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,列方程解方程可得首項(xiàng)和公差,即可得到所求通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求得Sn=λ-n•(12n-1,當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1,求得cn=bn+1=(n-1)•(12n,再由數(shù)列的求和方法:錯(cuò)位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,化簡整理可得所求和.

解答 解:(Ⅰ)等差數(shù)列{an}中,a2=5,a1+a3+a4=19,
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
可得a1+d=5,3a1+5d=19,
解得a1=3,d=2,
則an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1;
(Ⅱ)Sn+an12n=λ(λ為常數(shù)),
可得Sn+2n2n=λ,
即有Sn=λ-n•(12n-1,
當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=λ-n•(12n-1-λ+(n-1)•(12n-2=(n-2)•(12n-1
cn=bn+1=(n-1)•(12n,
數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=0•(12)+1•(122+2•(123+…+(n-1)•(12n,
12Tn=0•(122+1•(123+2•(124+…+(n-1)•(12n+1,
兩式相減可得,12Tn=0+(122+(123+(124+…+(12n-(n-1)•(12n+1
=14112n1112-(n-1)•(12n+1
可得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=1-(n+1)•(12n

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用方程思想,考查數(shù)列的求和方法:錯(cuò)位相減法,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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