Question

已知F₁、F₂是橢圓(a＞b＞0)的左右焦點,如果在橢圓上有一點Q,使∠F₁QF₂=60°,試求橢圓的離心率的取值范圍.

Answer 1

解法一：

設(shè)|QF₁|=m,|QF₂|=n.

則由橢圓定義知m+n=2a.

在△F₁QF₂中,由余弦定理,得

|F₁F₂|²=|QF₁|²+|QF₂|²-2·|QF₁|·|QF₂|·cos?0°.

∴4c²=m²+n²-mn.                        ①

由m+n=2a兩邊平方得

4a²=m²+n²+2mn,                         ②

由②-①得4a²-4c²=3mn.

∵m＞0,n＞0,且m+n=2a,

∴mn≤()²=a².

∴4a²-4c²=3mn≤3a².

∴a²≤4c², .

∴e²≥.

故橢圓的離心率的取值范圍為e∈［,1).

解法二：設(shè)橢圓與y軸相交的上頂點為B,則不難看出∠F₁BF₂≥∠F₁QF₂=60°,

∴∠F₁BO≥30°.

∴∠BF₁O≤60°.

故

∵0＜e＜1,∴e∈［,1).

綠色通道：

求離心率的范圍問題是圓錐曲線中求范圍問題的重點內(nèi)容之一,其主要解題思路是:想法利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)以及構(gòu)造出某點含a、b、c或e的不等式或數(shù)量關(guān)系式.再利用函數(shù)的知識或不等式的知識求結(jié)果.