Question

已知銳角三角形ABC中，sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．
（Ⅰ）求證：tanA=2tanB；
（Ⅱ）設(shè)AB=3，求AB邊上的高．

Answer 1

分析：（1）把角放在銳角三角形中，使一些運(yùn)算簡單起來，本題主要考查兩角和與差的正弦公式，根據(jù)分解后的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解方程組，做比得到結(jié)論．
（2）同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，換元解方程在直角三角形中，用定義求的結(jié)果

解答：（I）證明：∵sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

，
∴sinAcosB+cosAsinB=

3

5

，sinAcosB-cosAsinB=

1

5

，
∴sinAcosB=

2

5

，cosAsinB=

1

5

，
∴tanA=2tanB．
（2）解：∵

π

2

＜A+B＜π，sin(A+B)=

3

5

，∴cos(A+B)=-

4

5

，tan(A+B)=-

3

4

即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

4

，將tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0
解得tanB=

2± 6

2

，因?yàn)锽為銳角，所以tanB=

2+ 6

2

，∴tanA=2tanB=2+

6

．
設(shè)AB上的高為CD，則AB=AD+DB=

CD

tanA

+

CD

tanB

=

3CD

2+ 6

，由AB=3得CD=2+

6

故AB邊上的高為2+

6

．

點(diǎn)評：以銳角三角形為載體，應(yīng)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)用兩角和與差的正弦公式，求解過程中應(yīng)用代數(shù)方法解題，構(gòu)造直角三角形用銳角三角函數(shù)解決問題，這種問題做起來有一定難度．