18.已知冪函數(shù)$y={x}^{{p}^{2}-2p-3}$(p∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),實數(shù)a滿足$({a}^{2}-1)^{\frac{p}{3}}<(3a+3)^{\frac{p}{3}}$,則a的取值范圍是(1,4).

分析 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出p的值,根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式解出即可.

解答 解:∵冪函數(shù)$y={x}^{{p}^{2}-2p-3}$(p∈N*)在(0,+∞)上是減函數(shù),
∴p2-2p-3<0,解得-1<p<3,
∵p∈N*,
∴p=1或2.
當p=1時,y=x-4為偶函數(shù)滿足條件,
當p=2時,y=x-3為奇函數(shù)不滿足條件,
則不等式等價為$({a}^{2}-1)^{\frac{p}{3}}<(3a+3)^{\frac{p}{3}}$,即${{(a}^{2}-1)}^{\frac{1}{3}}$<${(3a+3)}^{\frac{1}{3}}$,
∵y=x$\frac{1}{3}$在(-∞,0)和(0,+∞)上都為增函數(shù),
∴a2-1<3a+3<0或0<a2-1<3a+3,
解得:1<a<4,
故答案為:(1,4).

點評 本題主要考查不等式的求解,根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出冪函數(shù)的表達式是解決本題的關(guān)鍵.

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男性女性總計
讀營養(yǎng)說明402060
不讀營養(yǎng)說明202040
總計6040100
參考公式和數(shù)據(jù):${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k0
 
0.100.0500.0250.010
k0
 
2.7063.8415.0246.635

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